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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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}

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% 信息设置
\title[基本概念]{《常微分方程》第一章：基本概念}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}\itemsep1em 
\item[1.1.]   微分方程及其解的定义
\begin{itemize}\itemsep0.5em 
\item  验证微分方程的通解。
\item  导出自由落体运动的微分方程和初值条件。
\end{itemize}

\item[1.2.]   微分方程及其解的几何解释
\begin{itemize}\itemsep0.5em 
\item  画出微分方程的线素场。
\item  导出条形磁铁的磁场所满足的微分方程。
\end{itemize}

\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.1. 一阶常微分方程 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em 

\item  {\color{red}问题：什么是一阶常微分方程？}

\item  解答：

\begin{enumerate}

\item  一个一阶常微分方程是关于自变量 $x$ 和未知函数 $y(x)$及其一阶导函数之间的一个函数方程：
$F(x,y(x),y'(x)) = 0$. 导函数 $y'(x)$ 也写成 $\frac{dy}{dx}$. 

\item  一阶常微分方程是关于自变量 $x$、应变量 $y$、以及它们的微分 $dx, dy$ 的一个等式：
$F(x,y,dx,dy)=0. $

\item  例如：下述两个方程都称为一阶常微分方程：
\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} &=& x^3, \\ 
xdy+ydx &=& x^4dx.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.2. 二阶常微分方程的例子 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：自由落体在 $t$ 时刻的高度记为 $y(t)$, 写出 $y(t)$ 满足的微分方程。}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  二阶导数 $y''(t)$ 为此刻的加速度。

\item  这时的牛顿第二运动定律 $F=ma$ 的具体形式为 $-mg = my''(t).$

\item  约去物体的质量 $m$, 得到一个二阶常微分方程：$y''(t) = -g.$

\item  写成关于二阶微分的等式：$d^2 y = -g (dt)^2.$ 这可以理解为：$$-g=\frac{v_2-v_1}{dt}=\frac{\frac{(dy)_2}{dt} - \frac{(dy)_1}{dt} }{dt}.$$

\end{enumerate}

%\item  问：什么是微分方程的阶？
%\item  答：导函数出现的最高阶数，称为这个微分方程的阶。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.3. 线性的微分方程 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：什么是线性微分方程？}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  线性微分方程里的未知函数 $y$ 及其各阶导函数 $y', y'', \cdots$ 不会相乘，或作用其它非线性函数。


\item  一些例子：

\vspace{0.3cm}

{\footnotesize 
%\begin{table}[ht]%\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
\#&微分方程 				&自变量  &应变量  &线性?  &阶数  &ODE/PDE   \\ \hline
1&$y'+y/x=x^3$ 			& $x$  & $y$  	&	线性 & 一阶 & 常微分方程 \\ \hline 
2&$y'=1+y^2$ 			&   & $y$  &	非线性 & 一阶 & 常微分方程 \\ \hline 
3&$y''+yy'=x$ 			& $x$ & $y$ & 	非线性 & 二阶 & 常微分方程 \\ \hline 
4&$\theta''(t)+a^2\theta(t)=0$ 	& $t$ & $\theta$ &	线性 & 二阶 & 常微分方程 \\ \hline 
5&$xf'_x+yf'_y+zf'_z+f=0$ 	& $(x,y,z)$ & $f$ &	线性 & 一阶 & 偏微分方程 \\ \hline 
\end{tabular}
%\end{table}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.4. 微分方程的解  }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：什么是一阶常微分方程的解？}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  考虑一阶常微分方程 $F(x,y(x),y'(x)) = 0$.

\item  它定义在整个 $(x,y)$ 平面上，除去使得方程无意义的那些地方。

\item  它的一个解是指一个函数 $y=\varphi(x)$,  使得等式 $F(x,\varphi(x),\varphi'(x)) = 0$ 成立。

\item  解函数 $y=\varphi(x)$ 的定义域（取某个区间）称为这个解的定义区间。

\item  例如，考虑微分方程 $y'+\frac{y}{x}=x^3$. 

\item  在除去直线 $x=0$ （即 $y$ 轴）的 $(x,y)$ 平面上都有定义。

\item  $\varphi(x) = \frac{1}{x}+\frac{1}{5}x^4$ 是一个解，定义区间为 $0<x<\infty$. 

\item  如果考虑定义区间为 $-\infty<x<0$, 那么认为这是另一个解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.5.  两个解函数的图像}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-1-1-4-solution.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.6. 微分方程的通解 }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：什么是二阶常微分方程的通解？}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  设二阶常微分方程 $F(x,y(x),y'(x),y''(x))=0$ 有解 $y=\varphi(x,C_1,C_2),$
其中 $C_1,C_2$ 是任意常数（即可取任意实数）。

\item  如果下述行列式不等于零，
$$
J=\begin{vmatrix}
\frac{\partial }{\partial C_1}(\varphi(x,C_1,C_2)) && \frac{\partial }{\partial C_2}(\varphi(x,C_1,C_2))\\ \\
\frac{\partial }{\partial C_1}(\varphi'_x(x,C_1,C_2)) && \frac{\partial }{\partial C_2}(\varphi'_x(x,C_1,C_2))
\end{vmatrix} =: \frac{\partial (\varphi,\varphi'_x)}{\partial(C_1,C_2)}, 
$$

则称这两个常数是独立的，并称该解 $y=\varphi(x,C_1,C_2)$ 是通解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.7.  Jacobi 行列式的定义}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：什么是Jacobi 行列式？}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  考虑如下多元向量值函数，其中自变量为$(x,y)$, 应变量为 $(u,v)$,
 $$\left\{\begin{array}{c} u=u(x,y), \\ v=v(x,y). \end{array} \right.$$

\item  它的 Jacobi 行列式定义为四个一阶偏导数组成的二阶行列式
$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} := \begin{vmatrix} u'_x & u'_y \\ v'_x & v'_y \end{vmatrix}.$$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.8.  Jacobi 行列式的作用 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：Jacobi 行列式的用处是什么？}

\item  解答：如果 Jacobi 行列式在某点 $(x_0,y_0)$ 的值不等于零，
那么在这点的一个领域里，自变量 $(x,y)$ 和应变量 $(u,v)$ 之间是一一对应的。
从而可以在这个局部范围内求出反函数：%（参考数分书下册161页）
 $$\left\{\begin{array}{c} x=x(u,v), \\ y=y(u,v). \end{array} \right.$$

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.9.  Jacobi 行列式的例子}

\begin{itemize}\itemsep0em

\item  {\color{red}问题：分析下述函数的图像，找出 Jacobi 行列式的值不等于零的地方，
 $$\left\{\begin{array}{rcl} u &=& x^2-y^2, \\ v &=& xy. \end{array} \right.$$ } 

\item  解答：求出偏导数，再计算行列式的值，
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} := \begin{vmatrix} u'_x & u'_y \\ v'_x & v'_y \end{vmatrix} 
= \begin{vmatrix} 2x & -2y \\ y & x \end{vmatrix} 
= 2x^2+2y^2. 
\end{eqnarray*}

在原点 $(x,y)=(0,0)$ 这个函数的 Jacobi 行列式的值等于零，在其它地方都不等于零。
在原点的任意领域内都不是1-1对应。在其它地方，都存在小领域，在这个领域中，这个函数是1-1对应。参看下页的函数图像。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.10.  上一页函数的图像}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-1-1-jacobi-1.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.11.  上一页的图像续}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.8\textwidth]{pic/ode-example-1-1-jacobi-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.12. 上一页的图像的 Python 程序 1/3}

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

[X,Y] = np.mgrid[-2:2:17j,-2:2:17j]
U=X**2-Y**2
V=X*Y

mycolor=['b','g','r','m','y','k']

fig=plt.figure()
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.13. 上一页的图像的 Python 程序 2/3}

%\begin{python}
\begin{lstlisting}[language=Python, caption=Python 示例代码]
ax1=fig.add_subplot(1,2,1)
for k in range(6):
    ax1.plot(X[3*k,:],Y[3*k,:],color=mycolor[k])
    ax1.plot(X[:,3*k],Y[:,3*k],color=mycolor[k])
    
ax1.set_xlim([-3,3])
ax1.set_ylim([-3,3])
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y')

ax1.set_aspect('equal')
ax1.set_xticks([-2,0,2])
ax1.set_yticks([-2,0,2])
\end{lstlisting}
%\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.14. 上一页的图像的 Python 程序 3/3}

\begin{python}
ax2=fig.add_subplot(1,2,2)
for k in range(6):
    ax2.plot(U[3*k,:],V[3*k,:],color=mycolor[k])
    ax2.plot(U[:,3*k],V[:,3*k],color=mycolor[k])

ax2.set_xlim([-5,5])
ax2.set_ylim([-5,5])
ax2.set_xlabel(r'$u=x^2-y^2$')
ax2.set_ylabel(r'$v=xy$')
ax2.set_aspect('equal')
ax2.set_xticks([-4,0,4])
ax2.set_yticks([-4,0,4])

fig.tight_layout(w_pad=3)
fig.savefig('ode-example-1-1-jacobi-2.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.15. 自由落体微分方程的通解}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：求出自由落体的位置 $y$ 关于时间 $t$ 的函数 $y(t)$ 所满足的微分方程，并求出该微分方程的通解。}

\item  解答：按照重力公式 $G=mg$ 与牛顿第二运动定律 $F=ma$, 
\begin{enumerate}
\item  微分方程：$y''(t)=-g$. 
\item  两边积分：$y'(t)=-gt+C_1$. 
\item  两边再积分：$y(t)=- \frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2$. 验证这是通解。
\end{enumerate}

\item  下一页的图中，物体的初始高度为100，垂直向上的初始速度分别为 $0, 10,20,30,40$. 横坐标为时间，纵坐标为高度。设地面高度为零。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.16. 自由落体运动的高度与时间的函数图像}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.9\textwidth]{pic/ode-example-1-1-0.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.17. 上一页的图像的 Python 程序 }

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
g=9.8; C2=100; C1=[0,10,20,30,40]; t=np.linspace(0,12,101)
fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)
for k in range(len(C1)):
    y=-g*t**2/2+C1[k]*t+C2; ax.plot(t,y)
ax.set_xlim([0,12]); ax.set_ylim([0,240])
ax.set_xlabel('t=time'); ax.set_ylabel('y=height')
ax.set_title('Falling object with different initial velocity upwards')
ax.annotate(r'initial height $C_2=100$',xy=(0.5,220))
ax.annotate(r'initial upwards velocity $C_1=0,10,20,30,40$',xy=(0.5,200))
ax.annotate(r'$y=-\frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2$',xy=(7,160))
#fig.savefig('ode-example-1-1-0.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.18. 常微分方程的初值问题 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：什么是初值问题？}

\item  解答：常微分方程的初值问题，是指给定了常微分方程以及初始时刻 $x=x_0$ 的有关未知函数的信息，求未知函数的问题。初值问题也称为柯西问题。

\item  常微分方程与初值条件的例子：

\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{4cm}|p{4cm}|}\hline 
\#&微分方程 		&初始条件   \\ \hline
1& $y'=f(x,y)$ 	& $y(x_0)$ \\ \hline 
2& $y''=f(x,y,y')$ 	& $y(x_0), y'(x_0)$ \\ \hline 
3& $y'''=f(x,y,y',y'')$ 	& $y(x_0), y'(x_0), y''(x_0)$ \\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.19.  例子1-1-1}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：求双参数函数族 $y=C_1e^x\cos(x)+C_2e^x\sin(x)$ 所满足的微分方程。}

\item  解答：联立下述三个等式：
\begin{eqnarray*}
y &=& C_1e^x\cos(x)+C_2e^x\sin(x) \\
y' &=& C_1e^x\cos(x)-C_1e^x\sin(x)+C_2e^x\sin(x)+C_2e^x\cos(x) \\
y'' &=& -2C_1e^x\sin(x) +C_2e^x\cos(x)
\end{eqnarray*}

消去这两个任意常数 $C_1$ 和 $C_2$, 可得所求微分方程为 $$y''-2y'+2y=0. $$

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.20. 例子1-1-2 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：求在 $(x,y)$ 平面上过坐标原点的一切圆满足的微分方程。} 

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/ode-example-1-1-2.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.21. 例子1-1-2的解答}

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  先写出过原点的任意一个圆的方程。设圆心坐标为 $(a,b)$, 则有\\
$(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2.$

\item  变量 $y$ 是 $x$ 的函数，上述等式两边对 $x$ 求导，可得\\
$2(x-a) + 2(y-b)y'=0. $

\item  上述等式两边继续对 $x$ 求导，可得\\
$2+2(y-b)y'' + 2y''=0.$

\item  上述三个等式联立，消去任意常数 $a,b$, 得到所求微分方程为\\ 
$(x^2+y^2)y''-2(1+y'y')(xy'-y)=0$. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.22. 过原点的一些圆的图像的 Python 程序 1/2 }

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N=6 # number of circles
M=10 # maximal xy limit of the center of the circle
t=np.linspace(0,2*np.pi,31)

fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.1.23. 过原点的一些圆的图像的 Python 程序 2/2 }

\begin{python}
for k in range(N):
    x0=M*np.random.rand()-5
    y0=M*np.random.rand()-5
    r=np.sqrt(x0**2+y0**2)
    x=x0+r*np.cos(t)
    y=y0+r*np.sin(t)
    ax.plot(x,y)
    
ax.set_xlim([-10,10])
ax.set_ylim([-10,10])
ax.set_aspect('equal')
ax.set_yticks([-10,-5,0,5,10])
#fig.savefig('ode-example-1-1-2.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.1. 微分方程的积分曲线}

\begin{itemize}\itemsep0.5cm

\item  {\color{red}问题：什么是微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的积分曲线？} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的积分曲线是 $(x,y)$ 平面上的一条光滑曲线
$$y=\varphi(x),a<x<b,$$
使得等式 $\varphi'(x)=f(x,\varphi(x))$ 对 $a<x<b$ 成立。

%需要注意自变量的定义区间。

\item  例如，微分方程 $\frac{dy}{dx}=1+y^2$, 移项可得 $\frac{dy}{1+y^2}=dx$, 然后两边积分可得 $\arctan(y) = x+C$. 
因此通解为 $y=\tan(x+C)$, 其中 $C$ 是任意常数。于是 $y=\tan(x+C), -\frac{\pi}{2}+C<x<\frac{\pi}{2}+C$ 是一条积分曲线。

\item  下一页的图像是通解 $y=\tan(x+C)$ 所对应的积分曲线族。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.2. 积分曲线的例子 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/ode-example-1-2-0-a.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.3. 上一页的图像的 Python 程序 }

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(-np.pi/2+0.01, np.pi/2-0.01,31)
y=np.tan(x)
C=np.linspace(-3,3,7)

fig=plt.figure(); ax=fig.add_subplot(111)
for k in range(len(C)):
    ax.plot(x+C[k],y,'-')

ax.set_xlim([-5,5]); ax.set_ylim([-20,20])
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y')
fig.savefig('ode-example-1-2-0-a.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.4. 微分方程的线素场 }

\begin{itemize}\itemsep0.3cm

\item  {\color{red}问题：什么是微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的线素场？} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.3em

\item  有时候求不出微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的通解，这时可以考察线素场。

\item  线素场由很多短直线组成，在$(x,y)$点的短直线的斜率等于$f(x,y)$.

\item  例子：下图是微分方程 $\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$ 的一部分的线素场。

\begin{center}
\includegraphics [height=0.4\textheight, width=0.4\textwidth]{pic/ode-example-1-2-0-b.png}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.5. 例子1-2-1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：作出微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 的线素场。}

\item  解答：是过原点的所有直线。通解为 $y=Cx$, 其中 $C$ 为任意常数。

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.55\textwidth]{pic/ode-example-1-2-1.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.6. 例子1-2-1的 Python 程序 1/2}

\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def myfun(x,y):
    if (x==0):
        return np.inf
    else:
        return y/x

a=2; N=11; stk=0.3 # length of each stick (line element)

x=np.linspace(-a,a,num=N)
y=np.linspace(-a,a,num=N)
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.7. 例子1-2-1的 Python 程序 2/2 }

\begin{python}
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)

for k in range(N):
    for m in range(N):
        xp=x[k]; yp=y[m]; slope=myfun(xp,yp)
        if (slope==np.inf):
            ax.plot([xp,xp],[yp-stk/2,yp+stk/2])
        else:
            dx=stk/np.sqrt(1+slope**2)
            dy=dx*slope
            ax.plot([xp-dx/2,xp+dx/2],[yp-dy/2,yp+dy/2])

ax.set_aspect('equal')
fig.savefig('ode-example-1-2-1.png')
\end{python}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.8. 例子1-2-2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：作出微分方程 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ 的线素场。}

\item  解答：是以原点为中心的同心圆。通解为 $x^2+y^2=C$, 其中 $C$ 为任意常数。

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.55\textwidth]{pic/ode-example-1-2-2.png}
\end{center}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.9. 例子1-2-3 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：导出条形磁铁的磁场对应的微分方程，作出这个微分方程的线素场。}

\item  解答：为简化问题，设有放置于点 $(-a,0)$ 和 $(a,0)$ 的点磁荷 $m_1=1$ 和 $m_2=-1$. 

\begin{center}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.6\textwidth]{pic/magnet-bar-analysis.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.10. 例子1-2-3 }

\begin{enumerate}

\item[1.]  两个点磁荷到任意点 $(x,y)$ 的向量为
 \begin{eqnarray*} 
 \vec{r}_1 &=& (x,y)-(-a,0) = (x+a,y), \\ 
 \vec{r}_2 &=& (x,y)-(a,0) = (x-a,y).
 \end{eqnarray*}
 它们的长度分别是
$$r_1=\sqrt{(x+a)^2+y^2}, \,\, r_2=\sqrt{(x-a)^2+y^2}. $$

\item[2.]  根据物理学定律，在点 $(x,y)$ 的磁场强度为 
 \begin{eqnarray*} 
\vec{H} &=& \vec{H}_1 + \vec{H}_2 = \frac{m_1}{r_1^3} \vec{r}_1 + \frac{m_2}{r_1^3} \vec{r}_2 \\ 
&=& \frac{1}{ [(x+a)^2+y^2]^{3/2}}(x+a,y) - \frac{1}{[(x-a)^2+y^2]^{3/2}}(x-a,y). 
 \end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.11. 例子1-2-3 }

\begin{enumerate}

\item[3.]  设 $y=\varphi(x)$ 是经过点 $(x,y)$ 的磁力线，则无穷小向量 $(dx,dy)$ 与磁场向量 $\vec{H}$ 的方向一致，所以
 \begin{eqnarray} 
\frac{dy}{dx} &=& \frac{\vec{H}\text{的纵坐标分量}}{\vec{H}\text{的横坐标分量}} 
= \frac{ \frac{y}{ [(x+a)^2+y^2]^{3/2} } - \frac{y}{[(x-a)^2+y^2]^{3/2}} }
{ \frac{x+a}{ [(x+a)^2+y^2]^{3/2} } - \frac{x-a}{ [(x-a)^2+y^2]^{3/2} } } \nonumber\\ 
&=& 
\frac{y[(x-a)^2+y^2]^{3/2} - y[(x+a)^2+y^2]^{3/2} } 
{ (x+a)[(x-a)^2+y^2]^{3/2} - (x-a)[(x+a)^2+y^2]^{3/2} }. 
\label{tag-1-18}
\end{eqnarray}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.12. 例子1-2-3 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.9\textwidth]{pic/ode-example-1-2-3.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.13. 磁场 }

\begin{figure}[ht]\centering
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/magnetic-field02.jpg}
\caption{图片来源：\url{https://www.vecteezy.com}}
\end{figure}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{1.2.14. 磁星 magnetar }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{pic/magnetar02.jpg}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{习题1-1 }

\begin{enumerate}

\item  验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解：
\begin{enumerate}
\item  $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x},\,\,\, y''-4y=0$. 
\item  $y=\frac{\sin x}{x}, \,\,\, xy'+y=\cos x$. 
\item  $y=x\left( \int x^{-1}e^xdx + C \right),\,\,\, xy'-y=xe^x$. 
\end{enumerate}

\item  求下列初值问题的解：
\begin{enumerate}
\item  $y'''=x, \, y(0)=a_0,y'(0)=a_1, y''(0)=a_2$. 
\item  $\frac{dy}{dx} = 1+y^2,\, y(x_0)=y_0$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{习题1-2 }

\begin{enumerate}

\item  作出如下微分方程的线素场：
\begin{enumerate}
\item  $y'=\frac{xy}{|xy|}$. 
\item  $y'=(y-1)^2$. 
\item  $y'=x^2+y^2$. 
\end{enumerate}

\item  利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：
\begin{enumerate}
\item  $y'=1+xy$.
\item  $y'=x^2-y^2$.
\end{enumerate}

\item  根据磁场的物理直观，试作微分方程(\ref{tag-1-18})的线素场及其积分曲线族的草图。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}







